复数乘法与旋转矩阵 |
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1 问题 提出 在 高 等代数 [1] 尧 线 性代数 [2] 教 材 中 袁 一般 会 有 正 交 矩 阵 T= cos 兹 - sin 兹 sin 兹 cos 兹 蓘 蓡 (1) 讲 到 这 里 袁 往往 直 接 说 这 是 一 个 旋 转矩 阵 袁 而 不 给 出其 所 以 然 . 我 们 考 虑 下面的 问题 院 题 目 院 已知 矩 阵 T= cos 兹 - s in 兹 sin 兹 cos 兹 蓘 蓡 袁 求 其 n 次 幂 . 从 单 纯 的 矩 阵 乘 法 角 度 袁 用数学 归 纳 法 来 求 解 袁 容 易 得 到 T n = cosn 兹 - s inn 兹 sinn 兹 cos n 兹 蓘 蓡 (2) 下面从 复 数 乘 法的 角 度来 考 虑 此 问题 . 2 从 复 数 乘 法 角 度 求 解 问题 首 先 建 立 复 平面 袁 如 图 1 所 示 袁 记 复 数 z=x+yi, z '=x'+iy' 袁 它们对应 复 平面 上 的 向 量 袁 对 z 旋 转 角 兹 之后 得 到 z' 袁 于是 由 复 数 乘 法 z'=ze i 兹 = (x+yi)(cos 兹 +is in 兹 )=xcos 兹 - ys- in 兹 +i(xsin 兹 +ycos 兹 ) 袁 比 较两 复 数的 实 部 与 虚 部 袁 可 得 x' y' 蓘 蓡 = xcos 兹 - ysin 兹 xs in 兹 +ycos 兹 蓘 蓡 = cos 兹 - sin 兹 s in 兹 cos 兹 蓘 蓡 x y 蓘 蓡 (3) 可 以 看 出 袁 矩 阵 T 其实 是在 二 维 平面 直 角 坐 标 系 中 旋 转 兹 渊 弧 度 数 冤 的 旋 转 算 子 袁 记 作 T=T 兹 . 用 矩 阵 T 左 乘 一 个 二 维 向 量 p 袁 等 价 于把 向 量 p 逆 时 针 旋 转 兹袁 由此 可 以 联 想 到 袁 在 向 量 p 左 侧 乘 以 几 个 矩 阵 T 袁 就 等 价 于把 向 量 p 逆 时 针旋 转 几 倍 的 兹袁 在 向 量 p 左 侧 乘 以 n 个 矩 阵 T 袁 就 等 价 于把 向 量 p 逆 时 针旋 转 n 兹袁 于是 n 个 矩 阵 T 的 乘 积 仍 然 是 一 个 旋 转 算 子 袁 只 不 过 旋 转 的 角 度 为 n 兹袁 即 T n =T 兹 n =T 噎 T 森 n 个 =T n 兹 = cosn 兹 - s inn 兹 sinn 兹 cosn 兹 蓘 蓡 (4) 3 推广 到 三 维 空 间 在 三 维 空 间 中 绕 坐 标 轴 的 旋 转可 以从 复 数 乘 法的 角 度来 推导 等 效 旋 转矩 阵 . 3.1 绕 Z 轴 或 X 轴旋 转 的等 效 旋 转矩 阵 考 虑 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 2 所 示 袁 由 右手 螺旋 法 则 袁 z 轴垂 直 纸 面 向外 袁 把 其 中的 向 量 p=(x,y,z ) T 绕 z 轴旋 转 兹 角 袁 得 到 的 向 量 p'=(x',y',z') T 袁 求 等 效 旋 转矩 阵 . 复 数 乘 法 与 旋 转矩 阵 赵 冬 梅 袁 张 家 雷 渊 燕 山 大学理学 院 数学 教 研 室 袁 河 北 秦皇岛 066004 冤 摘 要 院 通 过 一 道 矩 阵 方 幂 问题 的 求 解 袁 从 复 数 乘 法的 角 度 推导 出了 二 维 与 三 维 空 间 中的 旋 转矩 阵 袁 从而从 复变 函 数的 角 度 说 明 了工 程 技术 中 旋 转矩 阵 的 由 来 . 关 键 词 院 线 性代数 曰 复变 函 数 曰 复 数 乘 法 曰 旋 转矩 阵 中 图 分类 号 院 O151.2 文献标识码 院 A 文章编号 院 1673- 260X 渊 2011 冤 06- 0022- 02 Vol. 27 No . 6 J un. 2011 第 27 卷 第 6 期 2011 年 6 月 赤 峰 学 院 学 报 渊 自 然 科 学 版 冤 J o urnal o f Chifeng University 渊 Natural S cience Editio n |
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